7で割った余りの判定

<div class="title2">まず3の倍数の判定法</div>例えば3の倍数の判定法だと「全ての桁の数字を足した数が3の倍数なら3の倍数」みたいな感じです。

4桁の数字(桁数は適当)で\[N=1000a+100b+10c+d\]と置いてみると(aは1～9の整数、b,c,dは0～9の整数)、\[N=999a+99b+9c+a+b+c+d\\ =\textcolor{mediumblue}{3(333a+33b+3c)}+\textcolor{forestgreen}{a+b+c+d}\]3で括った部分は3の倍数なので、\(\textcolor{forestgreen}{a+b+c+d}\)(=すべての桁の数字を足した数)が3の倍数の時にNが3の倍数になる、という風に説明できます。

<div class="title2">7の倍数の判定法</div>上でやったことと同じように、
7×1 = 7
7×14 = 98
7×142 = 994
7×1428 = 9996
7×14285 = 99995
7×142857 = 999999　…より\[N=10000000a+1000000b+100000c+10000d+1000e+100f+10g+h\]とすると、\[N=\textcolor{mediumblue}{9999997a+999999b+99995c+9996d+994e+98f+7g}\\ +\textcolor{forestgreen}{3a+b+5c+4d+6e+2f+3g+h}\\ =\textcolor{mediumblue}{7(1428571a+142857b+14285c+1428d+142e+14f+g)}\\ +\textcolor{forestgreen}{3a+b+5c+4d+6e+2f+3g+h}\]ここから推測できる判定法は「一の位から順にそれぞれ1,3,2,6,4,5,1,3,…倍してそれらを足した数が7の倍数ならNは7の倍数」

さらに「7の倍数を足したり引いたりしても7で割った余りは変わらない」ので、「一の位から順にそれぞれ1,3,2,6,4,5,1,3,…倍して、それらを足した数を7で割った余り = Nを7で割った余り」とも言えます。

<div class="title2">1,3,2,6,4,5,…とは？</div>1÷7 = 0.142857 142857…から考えます。
10÷7 = 1.42857 142857…
100÷7 = 14.2857 142857…
1000÷7 = 142.857 142857…以下略
10倍するたびに小数点第一位が14285714…と変化していきます。

また、1〜6を7で割ると
1÷7 = 0.142857 142857…
2÷7 = 0.2857 142857 14…
3÷7 = 0.42857 142857 1…
4÷7 = 0.57 142857 1428…
5÷7 = 0.7 142857 14285…
6÷7 = 0.857 142857 142…
142857…の並びは崩れずに、小数点第一位が142857の中の小さい順(124578)に変化していきます。

ここで上の式(100÷7とか)の小数部分だけを見てみると、順に1÷7、3÷7、2÷7、6÷7、4÷7、5÷7…と同じ数になっています。

例えば1000÷7の場合、994を7で割れば整数になるので、余りの6を足して(994 + 6) ÷ 7とすると、小数に0.8571428…が入ったというようなな感じです。
小数部分が0.8571428…だから6÷7=0.8571428…より1000を7で割った余りは6だとわかります。

このことと上に羅列した式を利用すると、1,10,100,…を7で割った余りが1,3,2,6,4,5,…となるのがわかりやすくなると思います。

<div class="title2">判定法の使い方</div>449221を例にやってみます。
1×1 = 1
2×3 = 6
2×2 = 4
9×6 = 54
4×4 = 16
4×5 = 20
全部足して101
計算も面倒だし出た結果も7の倍数なのかわかりにくいです。

7の倍数を足したり引いたりしても7で割った余りは変わらないことを利用すると、
1×1 = 1
2×3 = 6 = 7-1 → -1
2×2 = 4
9×6 = 54 = 56-2 → -2
4×4 = 16 = 14+2 → 2
4×5 = 20 = 21-1 → -1
全部足して3、よって449221を7で割った余りは3、というようにすると使いやすくなります。
「1,3,2,-1,-3,-2,…倍」でもOKです。

<div class="title2">もっと判定法を一般化してみる</div>3の倍数の場合、1,10,100,…を3で割った余りがすべて1であることから「すべての桁の数字を足した数」によって判定できました。
7の倍数の場合、1,10,100,…を7で割った余りがそれぞれ1,3,2,6,4,5,1,3,2,…であることから「一の位から順にそれぞれ1,3,2,6,4,5,1,3,…倍して、それらを足した数」によって判定できました。

ここでやったように判定法を(無理やり)求めようとすると、Nをnで割った余りは「一の位から順にそれぞれ1，(10をnで割った余り)，(100をnで割った余り)，…倍して、それらを足した数」によって判定できることがわかります。

n=11の場合→「1,10,1,10,…倍」
下から1,2桁目、3,4桁目、…を2桁の数字と見てそれらを足したものと捉えられます。
それでも計算が面倒なので、「1, -1, 1, -1,…倍」だと計算しやすいです。
この1と10が交互に出てくるのは、1÷11=0.909090…を10倍していくと見えてくると思います。

n=2～13までの「一の位から順にそれぞれ○,○,…倍してそれらを足した数をnで割った余りが、Nをnで割った余りに等しい」を載せておきます。普通の判定法はいろんなところに載ってると思います
n=2,5,10→1,0,0,0,…倍（つまり1の位だけを見れば良い）
n=3→1,1,1,…倍
n=4→1,2,0,0,0,…倍（10の位までだけを見れば良い）
n=6→1,4,4,4,…倍（1,-2,-2,-2,…倍）
n=7→1,3,2,6,4,5,1,3,2,…倍（1,3,2,-1,-3,-2,…倍）
n=8→1,2,4,0,0,0,…倍（100の位までだけを見れば良い）
n=9→1,1,1,…倍
n=11→1, -1, 1, -1,…倍
n=12→1, -2, 4, 4, 4,…倍
n=13→1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, -3,…倍

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