漸化式と特性方程式（1次式型）

<div class="title2">概要</div>漸化式 \(a_{n+1}=f(a_n)\) は、初めに\(a_1\)(など)の初期値が与えられて、それを \(a_{n+1}=f(a_n)\) の\(a_n\)に代入することで \(a_2=f(a_1)\) が得られ、またそれを\(a_n\)に代入して\(a_3\)が得られ…というように数列を求められます。

このような流れはグラフを使って表すこともできます。まず曲線or直線 \(y=f(x)\) を描きます。(f(x)の形は適当)
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初めに\(a_1\)を漸化式に代入したのと同じように、\(y=f(x)\) のxに代入して\(a_2\)(y座標)を得ます。
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次は\(a_2\)を代入するので\(a_2\)をx座標に持っていき、同じように代入して\(a_3\)を得ます。
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新しい\(a_n\)(y座標)が得られてそれをxに代入するとき、それを得た横線のy座標と、代入したときの縦線(どちらも紫で示した)のx座標は同じで、これらの交点は必ず直線 \(y=x\) 上にあります。
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この直線を利用すると、数列を求めていく図はこのように書けます。
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①まず \(x=a_1\) からy軸方向に \(y=f(x)\) の線へ (代入して\(a_2\)を求めることに相当)

②その点からx軸方向に \(y=x\) の線へ (今のy座標と同じx座標に移動すること(=次に\(a_2\)を代入する準備)に相当)

③その点からy軸方向に \(y=f(x)\) の線へ (代入して\(a_3\)を求めることに相当)

…以下同様

という感じです。

<div class="title2">1次式型の場合の特性方程式</div>\(a_{n+1}=pa_n+q\ (p\ne0)\) という形の場合

p=1のとき等差数列(公差q)、q=0のとき等比数列(公比p)の漸化式になります。

どちらでもない場合、両辺に同じ数だけ足したり引いたりして等比数列の形を作ります。(例えば \(a_{n+1}+2=3(a_n+2)\) みたいな形)

両辺からcを引いてこの形を作るとすると、このcの値がわかれば等比数列の形を作ることができて、等比数列の形の場合の一般項はすぐ求められるのでそこから一般項が求められます。

まず両辺からcを引きます。\[a_{n+1}-c=pa_n+q-c\]右辺が左辺の定数倍になるようにしたいので、まずは右辺をpで括ります。\[a_{n+1}-c=p\left(a_n+\frac{q-c}{p}\right)\]括弧の中が左辺と同じ形になれば良いので\[-c=\frac{q-c}{p}\]変形してcを求めると\[-pc=q-c\\ (1-p)c=q\\ c=\frac{q}{1-p}\]よって、両辺から \(\frac{q}{1-p}\) を引く(\(\frac{q}{p-1}\)を足す)と等比数列の形にできるということがわかります。

このcの値は特性方程式 \(c=pc+q\) の解で、漸化式に代入すると次の値も同じになるような値という解釈や、 \(y=x\) と \(y=px+q\) の交点の座標(c,c)という解釈ができます。

両辺から定数を足したり引いたりしても式は同値=式を満たす値の組み合わせ(=点)は変わらない=グラフは動かない ので、「<a href="ckrr?p=m2301">関数の平行移動・回転</a>」とは逆に、両辺からcを引くことで"x軸方向にc、y軸方向にcだけ平行移動した後のような形を作っている"という考え方ができます。
変形後の形をそのように見ると、平行移動前は等比数列の場合の形ということになります。
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これより一般項の求め方は、
①両辺から \(c=\frac{q}{1-p}\) を引いて(\(\frac{q}{p-1}\)を足して)、等比数列の場合の形をx軸,y軸方向に同じだけ(※)平行移動した後のような形を作る（※同じでないとy座標をx座標に移す時にずれが生じる=座標を移す時に基準にする直線がy=xでなくなる←等比数列の場合と異なる）\[a_{n+1}-c=p(a_n-c)\]②今の式を等比数列の場合を平行移動した後と見た時の、平行移動前の状態(今の形をx軸,y軸方向に-cだけ平行移動した状態)での等比数列の一般項(\(a_n-c\) についての一般項)を求める\[a_n-c=(a_1-c)p^{n-1}\]③\(a_n\)が求まる(元の位置に戻す)\[a_n=(a_1-c)p^{n-1}+c\]元の位置に戻すといっても両辺にcを足すだけです。(漸化式と違ってそのnでの\(a_n\)の値を表しているだけなので)

上の平行移動の操作は図で表すとこのような感じです。\(a_n\)の値も矢印も平行移動させます。(下線を引いた値は初項と等比数列の一般項から求められる)
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