sin,cos,tanの微分

<div class="title2">sin,cosの微分</div>単位円上に点\((\cos\theta,\sin\theta)\)があり、その\(\theta\)が\(d\theta\)(僅かな値)だけ変化すると、点は図のように距離\(d\theta\)だけ動きます。(速度のように矢印で表してます)
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この動いた分をx,yに分解するとこうなります。
<img src="images/49.jpeg">
xの変化分 \(-d\theta\sin\theta\)が\(\cos\theta\)の変化分、つまり\(\frac{d}{d\theta}\cos\theta=-\sin\theta\)、
yの変化分\(d\theta\cos\theta\)が\(\sin\theta\)の変化分、つまり\(\frac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta\)になります。

<div class="title2">tanの微分</div>\(\tan\theta\)は単位円の図ではこのように直線\(x=1\)との交点のy座標になります。
この交点と原点の距離は、底が1であること(とか)から\(\frac{1}{\cos\theta}\)になります。
<img src="images/50.jpeg">

\(\theta\)が\(d\theta\)(僅かな値)だけ動くと、原点から\(r\)だけ離れた点は\(rd\theta\)動きます。
<img src="images/51.jpeg">

さっきの交点あたりを拡大すると図のようになります。
<img src="images/53.jpeg">
交点は原点から\(\frac{1}{\cos\theta}\)離れてるので、この付近では直線は\(\frac{1}{\cos\theta}d\theta\)だけ動きます。\(\theta\)の変化は僅かなので角度はほぼ変わらないとしていいです。

図から、相似などを考えると\(\tan\theta\)の変化分は\(\frac{1}{\cos\theta}d\theta\times\frac{1}{\cos\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta\)ということになります。
よって \(\frac{d}{d\theta}\tan\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\) となります。

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