電場と電束密度・磁場と磁束密度

<div class="title2">荷電粒子に働く力</div>電荷\(q_1,q_2\)をもった2つの荷電粒子の間に働く力Fは \(F=k_e\frac{q_1q_2}{r^2}\) <span class="gray">(\(k_e\)は比例定数、rは荷電粒子間の距離)</span>とよく表されます。
また \(k_e=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) <span class="gray">(\(\varepsilon_0\)は真空の誘電率)</span>から \(F=\frac{q_1q_2}{4\pi r^2\varepsilon_0}\) とも書けます。

電荷qの荷電粒子がある所に電場Eがあるとすると、荷電粒子に働く力Fは \(F=qE\) となります。上の式では、\(q_2\)の電荷を持った荷電粒子が受ける電場Eは、Fの式から\(q_2\)を除いた \(\frac{q_1}{4\pi r^2\varepsilon_0}\) の部分がEに相当します。
つまり電荷\(q_1\)を持った荷電粒子は、距離r離れたところに電場 \(E=\frac{q_1}{4\pi r^2\varepsilon_0}\) をつくります。

<div class="title2">電束密度</div>電束密度Dは電場Eと比例関係で、\(D=\varepsilon_0 E\) と表されます。電荷qを持った荷電粒子が作る電場は \(E=\frac{q}{4\pi r^2\varepsilon_0}\) でしたが、電束密度は \(D=\frac{q}{4\pi r^2}\) となり\(\varepsilon_0\)が消えます。

荷電粒子は全ての方向に均等に電場(電束密度)を発生させます。電束密度に(その垂直な面の)面積をかけると電束\(\Phi_e\)になりますが、その荷電粒子(だけ)を囲む曲面でそれを計算したその和は荷電粒子の電荷に等しくなります。(ガウスの法則)
例えば電荷qの荷電粒子を中心とし半径rの球面でそれを計算すると、距離r離れた点での電束密度が \(D=\frac{q}{4\pi r^2}\) であることと全ての方向に均等に電束密度を発生させることから、半径rの球の表面積\(4\pi r^2\)より電束は \(D\times 4\pi r^2=q\) となります。
逆に、遠くなるほど電束密度が小さくなるのは、その距離を半径とする球の表面積が大きくなることと関係があると考えられます。(スプリンクラー的なので例えると、水が出るところに近いほど多く水を受けて、遠いほど受ける水が少ないみたいなイメージ)

<div class="title2">磁場と磁束密度</div>磁荷の存在を仮定すると、磁荷\(q_m\)が受ける力Fは、磁場Hを用いて \(F=q_m H\) と表されます。
電荷の場合と同様に、磁荷\(q_m\)が距離r離れたところに作る磁場Hは \(H=\frac{q_m}{4\pi r^2\mu_0}\) <span class="gray">(\(\mu_0\)は真空の透磁率)</span>、磁束密度Bは \(B=\mu_0 H\) で \(B=\frac{q_m}{4\pi r^2}\) となります。

<div class="title2">ローレンツ力・ビオサバールの法則</div>ここからベクトル表記が混ざります。
磁束密度\(\vec{B}\)があるところで、電荷qが速度\(\vec{v}\)で運動するとき、電荷にはローレンツ力 \(F=q\vec{v}\times\vec{B}\) が働きます。
<img src="images/9.jpeg">

<span class="gray">ベクトルを\(\vec{A}\times\vec{B}\)のように×でかけているのは外積といって、大きさは「(Aの大きさ)×(BのAに垂直な成分) またはその逆」で、向きは例えば右×上なら手前、奥×手前下なら左です。右手を右向き→上向きに払うように動かしたとき親指側は手前にあるはずです。</span>
<img src="images/8.jpeg">

また、このような状況では、電荷からr離れたところでは磁場 \(H=\frac{q\vec{v}}{4\pi r^2}\times\vec{d}\) <span class="gray">(\(\vec{d}\)は 電荷→磁場を発生させる点 の向きで、大きさ1のベクトル)</span>が発生します。(ビオサバールの法則)
向きは進行方向に右手親指を向けたときの他の指が向く向きです(回転するような向き)。
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磁荷の周りを電荷が動くとき、ローレンツ力によって電荷が受ける力とビオサバールの法則によって磁荷が受ける力の大きさは等しく、向きは逆向きになります。
磁荷→電荷の方向と垂直な向きで電荷qが動いているとすると、上の式を用いて、電荷が受ける力の大きさ \(F_e=qvB=\frac{qq_m v}{4\pi r^2}\) 、磁荷が受ける力の大きさ \(F_m=q_mH=\frac{qq_m v}{4\pi r^2}\) となり大きさが等しくなることがわかります。
<img src="images/11.jpeg">

また、電荷を中心として見ると磁荷が速度\(-\vec{v}\)で運動しています。\(F=-q_m\vec{v}\times \vec{D}\) という式も成り立ちます。
このように電荷は磁束密度B中を動く時、磁荷は電束密度D中を動く時に力を受けると考えられます。

<div class="title2">誘電率・透磁率を用いない書き方</div>上で書いた式は、できるだけ誘電率・透磁率を使わないで書きました。

電荷\(q_e\)と磁荷\(q_m\)について
①電荷・磁荷が受ける力は \(q_e E,\ q_m H\)

②電荷・磁荷があるだけで発生するのは電束密度\(D=\frac{q_e}{4\pi r^2}\) 、磁束密度\(B=\frac{q_m}{4\pi r^2}\)

③電荷・磁荷が動く時に受ける力は \(q_e\vec{v}\times\vec{B},\ -q_m\vec{v}\times\vec{D}\)

④電荷・磁荷が動く時に発生するのは磁場\(H=\frac{q_e \vec{v}}{4\pi r^2}\times\vec{d}\) 、電場\(E=-\frac{q_m \vec{v}}{4\pi r^2}\times\vec{d}\)？？

③と④を見てみると、例えば電荷が受ける力の場合 \(\vec{v}\times\vec{B}\) の部分は④の磁荷が生む電場に等しいです。(\(\vec{B}=\frac{q_m}{4\pi r^2}\vec{d}\) より)
符号の違いは、磁荷が静止して電荷が動いてるとした時の電荷の速度と、逆と見た場合の磁荷の速度が逆になることからわかると思います。

力に直接関係するものが電場・磁場、電荷・磁荷そのものと関係のあるものが電束密度・磁束密度という感じです。

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