底の変換公式

<div class="title2">対数の考え方</div>\(\log_a{M}\) は「<span class="orange">a</span>を<span class="red">何</span>乗したら<span class="green">M</span>になるか」の値です。
例えば \(\log_2{8}\) は、<span class="orange">2</span>を<span class="red">3</span>乗したら<span class="green">8</span>になるので \(\log_2{8}=\textcolor{crimson}{3}\) となります。

<span class="orange">a</span>を<span class="red">c</span>乗したら<span class="green">b</span>になるとすると、<span class="red">c</span>は「<span class="red">何</span>乗」の値にあたるので \(c=\log_a{b}\)
また直接 \(a^c=b\) に当てはめて \(a^{\log_a{b}}=b\) も成り立ちます。

<div class="title2">底の変換公式</div>\(\log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}\) ←こんな公式（cは計算しやすければ何でも(何でもではないけど)）
例：\(\log_9{27}=\frac{\log_3{27}}{\log_3{9}}=\frac{3}{2}\)

考え方の概要としては、
\(3^2=9\) から \(\textcolor{forestgreen}{9^{\frac{1}{2}}=3}\) と、 \(\textcolor{forestgreen}{3}^3=27\) より \((\textcolor{forestgreen}{9^{\frac{1}{2}}})^3=9^{\frac{3}{2}}=27\)
よって \(\log_9{27}=\frac{3}{2}\) 、みたいな考え方です。

一般化します。

<div class="title2">考え方</div>\(\log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}\) を上の考え方で直接的に示していきます。\(\log_c{a}\) と \(\log_c{b}\) を使って表すのを目標とします。
上の例に文字を当てはめるとa=9，b=27，c=3です。

上の例では \(\textcolor{coral}{9}^{\textcolor{crimson}{\frac{1}{2}}}=\textcolor{forestgreen}{3}\) の \(\textcolor{crimson}{\frac{1}{2}}\) がわかることで計算できました。
つまり<span class="orange">a</span>の<span class="red">何</span>乗が<span class="green">c</span>になるのかがわかれば計算できます。

\(c^{\log_c{a}}=a\) が成り立つので、これから両辺を \(\frac{1}{\log_c{a}}\) 乗して \(\textcolor{mediumblue}{c=a^{\frac{1}{\log_c{a}}}}\)</p><p style="margin-left:1em">＊ここでlogの定義より \(c=a^{\log_a{c}}\) でもあります。
よって \(\textcolor{darkviolet}{\log_a{c}=\frac{1}{\log_c{a}}}\) が成り立ちます。
\(2^3=8\) だから8を2にするには \(\frac{1}{3}\) 乗すれば良いみたいなイメージです。
上の公式のcにbを当てはめた場合として紹介されているやつです。（文字は違うけど）</p><p>また \(\log_c{b}\) についても同様に \(c^{\log_c{b}}=b\) も書けます。
ここから上の \(\textcolor{mediumblue}{c=a^{\frac{1}{\log_c{a}}}}\) を代入して\[(a^{\frac{1}{\log_c{a}}})^{\log_c{b}}=a^{\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}}=b\]よって\[\log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}\]が成り立ちます。aの何乗がbになるか探すイメージの考え方です。

<div class="title2">より短い考え方</div>まず\(a\)を \(\log_a{c}\) 乗します→ \(a^{\log_a{c}}=c\)
さらに \(\log_c{b}\) 乗します→ \(c^{\log_c{b}}=b\)
以上をまとめると \(a^{\textcolor{darkviolet}{(\log_a{c})}(\log_c{b})}=b\)

ここで上の＊で書いた \(\textcolor{darkviolet}{\log_a{c}=\frac{1}{\log_c{a}}}\) を利用すると\[a^{\textcolor{darkviolet}{\frac{1}{\log_c{a}}}\log_c{b}}=b\]よって\[\log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}\]が成り立ちます。

やってることは実質同じですが、aからcを経由してbに行くイメージで、より直接的で若干天下り的な考え方です。

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