ベクトルが作る三角形の面積

<div class="title2">概要</div>2つのベクトル \(\overrightarrow{OA}=(x_1,y_1),\ \overrightarrow{OB}=(x_2,y_2)\) があるとき、そのベクトルが作る三角形OABの面積Sは\[S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|\]となります。これを図形的に示していきます。

<div class="title2">パターン① 同じ象限の場合1</div>図のような関係の場合です。
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\(x_1y_2,x_2y_1\) の値は、「一方のx座標×もう一方のy座標」で、この場合下の図の外側・内側(抜けている部分)の長方形の面積になります。

象限が同じことより2つの符号は同じになるので \(|x_1y_2-x_2y_1|\) はその差となり、図の左の水色の部分の面積になります。
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これを変形していきます。まず半分にして三角形にします。

すると右上の部分はちょうど黒い三角形に収まっています。それ以外の部分を、色のついた辺に平行に等積変形すると(図の真ん中)、黒い三角形にぴったり収まります(図の右)。

よって、水色の部分の面積 \(|x_1y_2-x_2y_1|\) の半分が黒い三角形の面積に等しいので、\(S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|\) となります。

<div class="title2">パターン② 隣の象限の場合</div>図のような場合です。
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この場合、xかyのどちらか一方だけ、2つの符号が異なります。よって \(x_1y_2,x_2y_1\) は異符号となるので \(|x_1y_2-x_2y_1|\) の値は2つの長方形の面積の和となり、図の左の水色の部分の面積になります。
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上と同様に半分にして三角形にして、等積変形すると黒い三角形にぴったり収まります。

よって、\(S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|\) となります。

<div class="title2">パターン③ 反対側の象限の場合</div>図のような場合です。
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この場合、xかyはどちらも符号が異なるので、\(x_1y_2,x_2y_1\) は同符号になります。よって \(|x_1y_2-x_2y_1|\) の値は2つの長方形の面積の差となり、図の水色の部分と橙色の部分の面積の差になります。
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まず半分にして三角形にして、水色の三角形を、その軸でない側が、黒い三角形の辺と軸の交点を通るように等積変形します(図の真ん中)(2通りできるけどどちらでもOK)。

変形した水色の三角形を軸で分けると、一方は黒い三角形に収めることができます。もう一方も2つの軸にくっつくように変形しておきます(上図の右)。

次は比に注目します。三角形の相似より、まずは図に赤と紫で描いたように、比が等しい2線分が2組あることがわかります(下図の左)。
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また緑で描いた三角形は、その右上に対称な感じに三角形を描くとそれと相似になります。水色の点線の角度は同じなのでその中に新しく線を引いても左下のと相似になります(図の真ん中)。

よって、赤の比と紫の比は同じということがわかります(図の右)。

下の図のように、長方形の辺がa:bに分割されているとき、図の水色の部分と黄色の部分の面積はどちらもklabとなり等しくなります。
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さっき移動した水色の三角形を、長方形に戻す→等しい部分に移動→また半分 とすると、下の図の左のようになります。
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水色の三角形と橙色の三角形をどちらも変形して、重なった部分が相殺されると水色が黒い三角形にぴったり収まった形になります(図の真ん中〜右)。

よって、\(S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|\) となります。

<div class="title2">パターン④ 同じ象限の場合2</div>同じ象限の場合は図のような場合もあります。
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同じ象限なので \(x_1y_2,x_2y_1\) は同符号になります。よって \(|x_1y_2-x_2y_1|\) の値は2つの長方形の面積の差となり、図の水色の部分と橙色の部分の面積の差になります。
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重なった部分を除くと、パターン③と同じ形になります。同様に変形すると \(S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|\) となることがわかります。

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