複素数の乗法

<div class="title2">まずiをかけることから</div>1にiをかけていくと、1→i→-1→-i→1→…と変化していきます。これを複素数平面で書くと反時計回りに90°ずつ回っていきます。
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\(a+bi\) にiをかけていった場合も、aとbiに分けて考えるとどちらも同じように90°回るので、それらを足した値も90°回ります。
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<div class="title2">複素数をかける場合</div>2つの複素数 \(a+bi=r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)\) と \(c+di=r_2(\cos\beta+i\sin\beta)\) の積は\[(a+bi)(c+di)=r_1r_2(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta))\]というように偏角が足されます。計算すると加法定理の形が出るのでそれで示せますが、図形的にも示していきます。

\((a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di\) と途中まで展開します。\((a+bi)c\) は原点からまっすぐc倍した点、\((a+bi)di\) は90°回転させてd倍した点です。
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2つの値の絶対値の比は、かける前の絶対値がどちらも \(\sqrt{a^2+b^2}\) と等しいのでc:dとなります。
\(c+di\) は実部:虚部がc:dで偏角(cからc+diまでの角度に等しい)がβなので、同じように \((a+bi)c\) から \((a+bi)(c+di)\) までの角度もβとなります。
よって、実軸からの角度(偏角)は、それに \(a+bi\) の偏角αを足した \(\alpha+\beta\) となります。

絶対値については、\(|(a+bi)c|=\sqrt{a^2+b^2}c\) と \(|(a+bi)di|=\sqrt{a^2+b^2}d\) より、これらは垂直なので \(\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}=r_1r_2\) となります。

これより、2つの複素数 \(a+bi=r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)\) と \(c+di=r_2(\cos\beta+i\sin\beta)\) の積が\[(a+bi)(c+di)=r_1r_2(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta))\]となることがわかります。

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