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点と直線の距離
数学 - 図形と式
<div class="title2">点と直線の距離の公式</div>直線 \(ax+by+c=0\) と点(p,q)の距離dは\[d=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]となります。 <img src="images/14.jpeg"> 直線 \(ax+by+c=0\) の傾きはy=の形にすると \(-\frac{a}{b}\) になることがわかりますが、元の形からは「xが1増えると \(ax+by+c\) の値はaだけ変化するので、方程式を満たすにはyは \(-\frac{a}{b}\) だけ変化しなければいけない」と考えられます。 <div class="title2">その点を通る直線の方程式からの考え方</div>直線が通る点は \(ax+by+c=0\) を満たします。 直線上のある点(s,t)は \(as+bt+c=0\) を満たし、その点からx軸方向に1ずれた点(s+1,t)での \(ax+by+c\) の値は \[a(s+1)+bt+c=as+a+bt+c=a\]となります。 つまり点(s+1,t) (と、それと同じように取った別の点)を通る直線の方程式は \(ax+by+c=a\) となります。 このときの直線との距離dは、直線の傾き \(-\frac{a}{b}\) より相似を用いて\[d=1\times\frac{|a|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|a|}{\sqrt{a^2+b^2}}\](距離なので絶対値) <img src="images/15.jpeg"> これより、点を通る直線の方程式が \(ax+by+c=a\) となるとき直線 \(ax+by+c=0\) との距離は \(\frac{|a|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) となることがわかります。 分子のaは \(ax+by+c\) の値で、その絶対値1あたり距離 \(\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\) という感じです。 y軸方向にずらした場合も同様に求められます。 点(p,q)での \(ax+by+c\) の値はそのまま代入すれば \(ap+bq+c\) とわかるので、\[d=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]という式が書けます。
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