合成関数の微分と置換積分

<div class="title2">合成関数の微分</div>\(f(u(x))\) という合成関数は、\(f(u)\) のuの値がxによって操られる関数です。
例えば \(u=x^2\) の場合、xが0に近いときはxの変化はuの値に大きな変化を与えず、f(u)もあまり動きません。逆にxが大きくなるとuの変化も大きくなり、f(u)の変化も大きくなります。

これをxで微分すると \(\frac{d}{dx}f(u(x))=f'(u(x))\textcolor{mediumblue}{\frac{d}{dx}u(x)}\) となります。
\(f'(u(x))\) の部分は、単純に \(\frac{d}{du}f(u)\) という、合成関数でない(xではなくuに依存する)場合の導関数です。この違いは「xが1増えた時のf(u(x))の変化」と「u(x)が1増えた時のf(u(x))の変化」のような違いです。

\(\textcolor{mediumblue}{\frac{d}{dx}u(x)}\) の部分は、u(x)が変化する速さのような感じです。xの増加に比べてu(x)が速く増加すると、f(u(x))の変化はより素早くなります。その分xの変化に対するf(u(x))の変化(=グラフの傾き)は急になります。

例えば、\(y=2u\) に \(u=3x\) を代入すると \(y=6x\) になります。yのxに対する傾きは、uがxの3倍の速さで動く(xが1増えるとuが3増える)ため、uに対するyの傾き2(uが1増えるとyが2増える) の3倍である6になります。(xが1増えるとuが3増えるからyが6増える)

<div class="title2">置換積分①(微分した形が見えてるタイプ)</div>\[\int f(u(x))\textcolor{mediumblue}{\frac{d}{dx}u(x)}dx=F(u(x))+C\]これは上で書いた合成関数の微分 \(\frac{d}{dx}f(u(x))=f'(u(x))\textcolor{mediumblue}{\frac{d}{dx}u(x)}\) の逆です。

微分では \(\textcolor{mediumblue}{\frac{d}{dx}u(x)}\) をかけたのとは逆に、割っているイメージです。

uの値が、ある微小区間内に存在するためのxの範囲は、xに対してuが速いほど、早く通り過ぎてしまうため短くなります。
xで積分することはxのグラフでの面積を計算すること(に近い)なので、そのuの区間に対応するxの区間は、uが速い分だけ狭くなります。

<div class="title2">置換積分②(都合の良い置換を見つけるタイプ)</div>\[\int f(x)dx=\int f(x(t))\textcolor{mediumblue}{\frac{d}{dt}x(t)}dt=F(x(t))+C\]f(x)をf(x(t))というように合成関数化して(実際の計算では都合の良い形になるような合成関数の取り方を求めている)、tで微分した形に持っていってから、tで積分しています。上の合成関数からu→x、x→tに置き換えた感じです。

最初の形をF(x(t))をxで微分した段階として見て、それからtで微分した形にしています。
F(x(t))をxで微分したのをxで積分することも、F(x(t))をtで微分したのをtで積分することも同じです。

積分では置換積分や部分積分などの手法を組み合わせて、"知っている形(簡単に積分できる形)に持って行く"ことで原始関数(積分した後の形)を求めます。

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