関数の平行移動・回転

<div class="title2">図形の平行移動</div>方程式 \(f(x,y)=0\) の図形を、x軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動させると、\(f(x-p,y-q)=0\) という方程式になります。(必ずしも=0である必要はないですが、左辺に移行してそれもまとめてf(x,y)としてしまえば=0になります。)

関数が移動するということは、方程式を満たす点が移動するということです。
ある点(a,b)が元の方程式を満たしている(\(f(a,b)=0\))とすると、移動した後の点(a+p,b+q)が移動後の方程式を満たします。(移動後の関数を\(g(x,y)\)として \(g(a+p,b+q)=0\))

逆に、<span class="violet">移動後の点から見てx軸に-p、y軸に-qずれた点が元の方程式 \(f(x,y)=0\) を満たします。</span>
今 \(f(x,y)=0\) の形がわかっていて、移動後の方程式 \(g(x,y)=0\) の形を知りたいのでこっちの考え方を使います。

点(c,d)が移動後の方程式 \(g(c,d)=0\) を満たすとき、<span class="violet">x軸に-p、y軸に-qずれた移動前の点(c-p,d-q)が元の方程式 \(f(x,y)=0\) を満たす</span>ので、\(f(c-p,d-q)=0\) が成り立ちます。
(c,d)以外でも全ての点で同様に成り立つので、方程式\(f(x,y)=0\)の図形をx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動させた方程式(\(g(x,y)=0\)と同値な方程式)は \(f(x-p,y-q)=0\) ということになります。

<div class="title2">図形の回転</div>原点を中心にθだけ回転させる場合、上の考え方と同様に、-θ回転させた点で元の方程式を満たせばよいので、\(f(x\cos{\theta}+y\sin{\theta},-x\sin{\theta}+y\cos{\theta})\) となります。

回転させたい点について、原点からその点を結んだベクトルをx軸成分とy軸成分に分解してそれぞれをθだけ回転させると、
x軸成分だったものは \(\left(\begin{array}{cc}x'_x\\ y'_x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x\cos{\theta}\\ x\sin{\theta}\end{array}\right)\)
y軸成分だったものは \(\left(\begin{array}{cc}x'_y\\ y'_y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-y\sin{\theta}\\ y\cos{\theta}\end{array}\right)\)
になります。
これを行列にまとめると\[\left(\begin{array}{cc}x'\\ y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x\cos{\theta}-y\sin{\theta}\\ x\sin{\theta}+y\cos{\theta}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & \cos{\theta}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x\\ y\end{array}\right)\]となります。右にあるのは回転行列というやつです。列ごとに見ていくと上の考え方と繋がりがみえてくると思います。
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-θ回転させた点はsinだけ符号を変えて \((x\cos{\theta}+y\sin{\theta},-x\sin{\theta}+y\cos{\theta})\) となります。

原点以外の点(p,q)を中心に回転させたい場合、
「x軸方向に-p、y軸方向に-q平行移動(その点を原点に持っていく)」→「原点中心に回転」→「x軸方向にp、y軸方向にq平行移動(最初の移動を戻す)」
という感じでできます。

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