物体の衝突 - Chokuriri

<div class="title2">運動量保存則</div>質量\(m\)の物体が速度\(\vec{v}\)で運動しているとき、その物体は運動量\(m\vec{v}\)を持ちます。ある系の運動量はその外からの力が働かない場合一定になります。ベクトル量なので、同じ質量の2つの物体が反対方向に同じ速さで移動している時と、どちらも静止している時ではその2つの物体の系の運動量の和は0で同じです。(\(m\vec{v}+(-m\vec{v})=0,\ 0+0=0\))

<div class="title2">物体の衝突</div>1次元での運動で考えます。質量\(m_1\)で速度\(v_1\)で運動する物体と、質量\(m_2\)で速度\(v_2\)で運動する物体が衝突するとき、反発係数(衝突後の相対速度÷衝突前の相対速度 の絶対値)をe、衝突後のそれぞれの速度を\(v'_1,v'_2\)すると、次の2つの式が成り立ちます。\[m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1+m_2v'_2\\ e=-\frac{v'_1-v'_2}{v_1-v_2}\]下の式の1,2の順番は 分子分母で順番同じかつ全体にマイナス ならどっちでもいいです(両方入れ替えても値は変わらないため)。順番が逆ならマイナスは無しです。
負側から1の物体、正側から2の物体が近づく場合、\(v_1-v_2\) は正、\(v'_1-v'_2\) は負になります。

まずe=0(衝突後離れない)の場合を考えます。衝突後離れないので \(v'_1=v'_2\) となり、1つ目の式から \(m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v'_1\) よって\[v'_1=v'_2=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}\]となります。元々あった全体の運動量(\(m_1v_1+m_2v_2\))を、2つの物体の質量の和(\(m_1+m_2\))で割ることで衝突後の速度が得られた感じです。

e=0でない場合、まずは連立方程式を解いてみます。下の式の分母を払って\(m_2\)をかけると\[em_2v_1-em_2v_2=-m_2v'_1+m_2v'_2\]上の式からこれを引いて\[m_1v_1+m_2v_2-em_2(v_1-v_2)=(m_1+m_2)v'_1\\ v'_1=\frac{m_1v_1+m_2v_2-em_2(v_1-v_2)}{m_1+m_2}\]
同様に分母を払った後\(m_1\)をかけて上の式に足すと\[m_1v_1+m_2v_2+em_1(v_1-v_2)=(m_1+m_2)v'_2\\ v'_2=\frac{m_1v_1+m_2v_2+em_2(v_1-v_2)}{m_1+m_2}\]

<div class="title2">式の意味</div>上で求めた式を分解してみます。\[v'_1=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}-\frac{m_2}{m_1+m_2}e(v_1-v_2)\\ v'_2=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}+\frac{m_1}{m_1+m_2}e(v_1-v_2)\]
左の部分はe=0の場合の式です(e=0を入れても同じ)。

右の部分は、系の運動量を保ったまま、相対速度を元の相対速度のe倍になるように離すイメージです。
質量の比が \(m_1:m_2\) なので、\(m_2:m_1\) の割合で速度を逆向きに変化させれば運動量を保てます。
分母の \(m_1+m_2\) は、相対速度(の絶対値)がe倍になることと関係があります。\[v'_2-v'_1=\frac{m_1}{m_1+m_2}e(v_1-v_2)+\frac{m_2}{m_1+m_2}e(v_1-v_2)=e(v_1-v_2)\]

これらの式は負側から1、正側から2が来る場合に合った式ですが、入れ替えれば逆の場合にあった式にできます。

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